Variaciones de la condicional o implicación

Variaciones de la condicional o implicación

Existen otras proposiciones relacionadas con la implicación p =› q. Cualquier proposición condicional se halla conformada por un antecedente y un consecuente. Si se intercambian, se niegan o las dos cosas, se forma una nueva proposición condicional.

Ejemplo 4: 

Dada la proposición directa

‹‹Si Guatemala es un país, entonces Guatemala pertenece a Centroamérica››.

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: Guatemala es un país.

q: Guatemala pertenece a Centroamérica.

                                                                p =› q

Si intercambiamos el antecedente ‹‹Guatemala es un país›› y el consecuente ‹‹Guatemala pertenece a Centroamérica››, se obtiene una nueva proposición condicional.

                                                                q =› p

‹‹Si Guatemala pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala es un país››.

Esta nueva condicional se llama recíproca de la proposición dada.

Si se niegan ambos lados de la proposición directa, el antecedente y el consecuente, se obtiene la inversa de la proposición dada.

                                                               ~p =› ~q

‹‹Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica››.

Si el antecedente y el consecuente se intercambian y se niegan, se obtiene la contrapositiva de la proposición dada.

                                                                ~q =› ~p

‹‹Si Guatemala no pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala no es un país››.

Variaciones de la condicional: 

Leyes de álgebra proposicional:

Leyes de Morgan:

son reglas de inferencia usadas en lógica proposicional, que establecen cuál es el resultado de negar una disyunción y una conjunción de proposiciones o variables proposicionales. Estas leyes fueron definidas por el matemático Augustus De Morgan. (Madura, 1806) (Londres, 1871).

Las leyes de Morgan representan una herramienta muy útil para demostrar la validez de un razonamiento matemático. Posteriormente fueron generalizadas dentro del concepto de conjuntos por el matemático George Boole.

Esta generalización hecha por Boole es completamente equivalente a las leyes de Morgan iniciales, pero está desarrollada específicamente para conjuntos en lugar de para proposiciones. Dicha generalización también es conocida como leyes de Morgan.

Las leyes de Morgan consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales, a saber:

La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones.

                                                          ~(p ꓥ q) ≡ ~p ꓦ ~q

La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones.

~(p ꓦ q) ≡ ~p ꓥ ~q

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EJEMPLO:

Utilice la ley de Morgan para escribir la negación de la proposición. ‹‹Un año tiene 12 meses y una semana tiene 5 días››.

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: Un año tiene 12 meses.

q: Una semana tiene 5 días.

Proposición compuesta :                p ꓥ q    

Negación:                                      ~(p ꓥ q) 

Negación y su equivalente:       ~(p ꓥ q) ≡ ~p ꓦ ~q

La negación de la proposición es:

‹‹Un año no tiene 12 meses o una semana no tiene 5 días››.

Negación de la condicional y la bicondicional:

En las proposiciones (p ⇒ q) y (p ⇔ q) las equivalentes a sus respectivas negociaciones son:

                                                                  ~(p ⇒ q) ≡ p ꓥ~q

                                                       ~(p ⇔ q) ≡ (p ꓥ~q) ꓦ (q ꓥ ~p)

EJEMPLO:
Negar la proposición:
‹‹Si la tierra es un planeta, entonces una estrella es un astro››.

El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: La tierra es un planeta.
q: Una estrella es un astro

Proposición:                                (p ⇒ q)
Negación:                                  ~(p ⇒ q)
Negación y su equivalente:       ~(p ⇒ q)≡ p ꓥ~q

La negación de la proposición es:
                                     ‹‹La tierra es un planeta y una estrella no es un astro››. 

   

Operaciones proposicionales:

Dadas dos o más proposiciones simples, de las cuales se conocen su valor de verdad, realizar operaciones proposicionales es determinar el valor de verdad de la proposición compuesta:

EJEMPLO:

Sean las proposiciones p falsa, q verdadera y r falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición compuesta  ~p ꓥ (q ꓦ ~r)?

En la expresión anterior, trabaje primero el interior del paréntesis. Debido a que r es falsa, ~r será verdadera y puesto que ~r es verdadera y q también lo es, encuentre el valor de verdad de q ꓦ ~r, buscando en la tabla de verdad de la disyunción el resultado da verdadero. Puesto que p es falsa, ~p es verdadera y el valor final de la proposición compuesta ~p ꓥ (q ꓦ ~r) se encuentra en la tabla de verdad de la conjunción y da como resultado que es verdadera.

El párrafo anterior puede interpretarse utilizando un método simbólico abreviado haciendo que V represente un proposición verdadera y F a una proposición falsa:

                                                                       ~p ꓥ (q ꓦ ~r)

                                                                       ~F ꓥ (V ꓦ ~F) 

                                                                        V ꓥ (V ꓦ  V)

                                                                               V ꓥ V

                                                                     V

Comentario: Este es un tema un poco complicado para muchas personas ya que tiende a confundir los positivos y negativos. Una dificultad que tengo es en la elaboración de las operaciones proposicionales, me confundo cual es verdadera y cual es falsa, pero después de leer una y otra ves el contenido pude entender y debemos de aprendernos y tomar en cuenta todas las reglas y leyes que se encuentran en la definición; en especial debemos de aprendernos las leyes de morgan, después de leer y analizar cada definición debemos practicar con ejercicios para que se nos facilite y tomemos habillidad y práctica para operar cada una.