Operaciones con conjuntos y Cardinal de un conjunto

Operaciones con conjuntos

Las operaciones básicas que podemos definir entre conjuntos son;

Nota: El resultado de las operaciones representado en un diagrama de Venn se pintará del siguiente color;

1. Unión de conjuntos:

La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.

Simbólicamente se expresa así:

"∈ significa pertenece"

Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión se representa;

Propiedades de la unión de conjuntos;

1° (A U A) = A

2° (A U B) = B U A

3° A U (B U C) = (A U B) U C

4° A U ᴓ = A

5° A U U = U

Ejemplo:

Sean los conjuntos;

Representar  A U B en un diagrama de Venn.

Para poder resolver este ejercicio, como los conjuntos A y B están definidos por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para poder ver todos sus elementos;

Y luego, representamos la unión en diagrama de Venn;

2. Intersección de conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B pero.

Simbólicamente lo expresamos así:

Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ) y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A, y se representa;

Propiedades de la intersección de conjuntos;

1° (A ∩ A) = A  Idempotencia

2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa

3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa

4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad

5° A ∩ U = A Identidad

Nota: La idempotencia es la propiedad para realizar la operación varias veces, y siempre obtener el mismo resultado que se obtendría si se realizara solo una vez.

Ejemplo:

Determina dos conjuntos que puedan dar origen a la intersección;

Para determinar dos conjuntos que den origen a esta intersección debemos buscar conjuntos que contengan estas letras, nosotros haremos los siguientes conjuntos, pero tú puedes formar otros;

Si representamos la intersección en un diagrama de Venn quedaría de la siguiente forma;

3. Diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

Simbólicamente lo expresamos así:

La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ), y se representa;

d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;

Propiedades de diferencia de conjuntos;

1° (A - B) ≠ B - A 

2° A - B = A ∩ B’

3° A - ᴓ = A

4° A - U = ᴓ

5° ᴓ - A = ᴓ

6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .

¿Cuál es la diferencia de A - B?

4. Complemento de un conjunto:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe A^c, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

Simbólicamente lo expresamos así:

El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

Es decir, también podemos interpretarlo como;

Propiedades de conjunto complementario;

1° A U A^C = U

2° A ∩ A^C = ᴓ

3° U^C = ᴓ

4° ᴓ^C = U

5° (A^C)^C = A

Ejemplo:

Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?

Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos A^c.

5. Operación diferencia Simétrica:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A ∩ B.

La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y se representa;

Propiedades de conjunto complementario;

1° A Δ B = B Δ A

2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

3° A Δ A = ᴓ

4° A Δ ᴓ = A

5° A Δ U = U - A

Ejemplo:

Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y B? 

Cardinal de un conjunto

Es el número de elementos que posee. El cardinal de un conjunto A se denota po n(A) y se lee "Número de elementos del conjunto A".

El cardinal de la Unión de dos conjuntos se define como la suma de los cardinales de los conjuntos, menos el cardinal de la intersección.

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B)

Ejemplo:

a). Encuentre n(A) si n(A ⋃ B) = 50, n(A ⋂ B) = 25, n(B) = 40

b). Utilice el diagrama de Venn y use la información proporcionada para colocar el número de elementos de cada región.

Solución:

a). Utilizando la fórmula: n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B) se tiene

                                        50 = n(A) + 40 - 25

                                       

                                       Despejando n(A)

                                       n(A) = n(A ⋃ B) - n(B) + n(A ⋂ B)

                                       n(A) = 50 - 40 + 25

                                       n(A) = 35

b). Utilizando diagramas de Venn:

El conjunto B tiene 40 elementos

El conjunto n(A ⋃ B) = 50

Por lo tanto n(A) = 10 + 25,

n(A) = 35

COMENTARIO: Para operar conjuntos existen diferentes formas, mediante cada operación podemos agregar los elementos de acuerdo al que elegimos, por ejemplo en la operación unión unimos en un solo conjunto todos los elementos de dos o más conjuntos. De acuerdo a las instrucciones de cada operación colocaremos los conjuntos. También estudiamos el cardinal de un conjunto el cual es el número de elementos que poseen los conjuntos, por ejemplo podemos decir que el conjunto A tiene 10, el conjunto B tiene 20 y el conjunto C tiene 25. de acuerdo a esos elementos sumaremos o restaremos para saber la cantidad que se encuentra en cada lugar.